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深溝球軸承安全接觸角的MATLAB數(shù)值分析

文檔作者：葉華聰王曉宏張沛峰文檔來源： 1．貴州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 2．貴州虹山虹飛軸承有限責(zé)任公司，		點(diǎn) 擊數(shù)：	更新時(shí)間： 2022年11月06日
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蘭 ! = Z
CN41一l148／TH
軸承2014‘V6期
Bearing 2014，No．6
深溝球軸承安全接觸角的MATLAB數(shù)值分析
葉華聰 ，王曉宏 ，張沛峰
(1．貴州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，貴陽550025；2．貴州虹山虹飛軸承有限責(zé)任公司，貴州 安順561000)
摘要：深溝球軸承主要承受徑向載荷，也可以承受一定的軸向載荷，軸向載荷過大會使鋼球與溝道問的接觸橢
圓爬越擋邊，產(chǎn)生應(yīng)力集中，使軸承提早疲勞失效，因此存在安全接觸角。通過理論分析，建立了深溝球軸承安
全接觸角的計(jì)算方程，并利用MATLAB軟件對該計(jì)算方程進(jìn)行編程，可以快速準(zhǔn)確地計(jì)算出軸承的安全接觸
角。
關(guān)鍵詞：深溝球軸承；MATI AB；安全接觸角；極限軸向載荷；數(shù)值分析
中圖分類號：TH133．33 1 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1000—3762(2014)06-0011—03
M ATLAB Numerical Analysis for Security Contact Angle of Deep
Groove Ball Bearings
Ye Huacong ，Wang Xiaohong ，Zhang Pei~ng
(1．College of Mechanical Engineering，Guizhou University，Guiyang 550025，China；2．Guizhou Hongshan Hongfei
Bearing Limited Liability Company，Anshun 561000，China)
Abstract：The deep groove ball bearings are used to bear mainly the radial and also certain axial load．If the axial load
is too large，the contact ellipse between the ball and raceway will across the rib，which causes the stress concentration
leading to earlier failure of the bearings，therefore the security contact angle is existing．The calculating equation for the
security contact angle of deep groove ball beatings is established through theoretical analysis，and the programming of
calculating equation is carried out by using MATLAB software．The security contact angle of bearings is calculated
quickly and accurately．
Key words：deep groove ball beating；MATLAB；security contact angle；limit axial load；numerical analysis
深溝球軸承主要承受徑向載荷，還可以承受
一定的軸向載荷。當(dāng)其承受軸向載荷時(shí)，隨著軸
向載荷的增大，接觸橢圓的面積將會增大，并向擋
邊移動。如果軸向載荷大于許用軸向載荷，接觸
角大于安全接觸角，接觸橢圓的邊緣會超出擋邊，
此時(shí)會產(chǎn)生應(yīng)力集中，致使軸承早期疲勞失效，大
大縮短軸承的使用壽命¨J ，因此，作為深溝球軸
承設(shè)計(jì)的可靠理論依據(jù)，有必要對其安全接觸角
進(jìn)行精確計(jì)算。
1 安全接觸角的計(jì)算方法
1．1 臨界狀態(tài)分析
隨著軸向載荷的增大，鋼球與內(nèi)、外圈間的接
收稿日期：2013—10—09；修回日期：2013—12～04
觸橢圓會向擋邊方向移動，軸承的接觸角也會隨
之增大，當(dāng)接觸角增大到接觸橢圓剛好處于爬越
擋邊的臨界狀態(tài)，即接觸橢圓的長軸剛好達(dá)到擋
邊邊緣，此時(shí)的接觸角即為安全接觸角O／(圖1)。
如果軸向載荷過大，接觸橢圓將被套圈擋邊截去
一部分，在鋼球和擋邊附近的接觸處會產(chǎn)生應(yīng)力
集中，加速軸承的疲勞失效。因此，深溝球軸承軸
向承載能力的限制條件為軸向載荷作用下鋼球和
溝道間的接觸橢圓不可爬越擋邊邊緣 J。
圖1中， 為極限軸向載荷F 作用下產(chǎn)生的
安全接觸角； 為接觸橢圓長半軸a相對于鋼球中
心形成的角度；0為極限軸向載荷F 作用下接觸
橢圓所在側(cè)擋邊邊緣和鋼球中心的連線與軸承徑
向的夾角；F，E分別為軸承內(nèi)、外溝道直徑；d ，D
分別為內(nèi)、外圈擋邊直徑；D 為球組節(jié)圓直徑；D
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《軸承~2014．No．6
為鋼球直徑。
▲
▲
圖1 純軸向載荷下深溝球軸承的幾何關(guān)系示意圖
12 相關(guān)計(jì)算公式
為了便于理論計(jì)算和分析，在不考慮軸承運(yùn)
轉(zhuǎn)時(shí)離心力對接觸角的影響下，給出安全接觸角
的計(jì)算參數(shù)及相關(guān)公式 ]。
1．2．1 0的計(jì)算
對于外圈
e： arc?。s ( 一 )； ( 1)
對于內(nèi)圈
a? s(1一 )， (2)
式中 分別為內(nèi)、外溝曲率系數(shù)。
1．2．2 安全接觸角和極限軸向載荷
由上述約束條件得
0一 ≥ ， (3)
當(dāng) 很小時(shí)，可以近似為
一sin = 一2a
D— —。。 (L4斗 )
接觸橢圓長半軸w為
(5)
式中：e =0．023 63／z， 為由接觸區(qū)尺寸所決定的
系數(shù)；Q為鋼球所承受的載荷；ΣP為曲率和，對
于外圈Σp： 4一 一言，對于內(nèi)圈Σp=
4 l 2
D D F
當(dāng)軸承承受極限軸向載荷F 時(shí)，有如下關(guān)系
Q 面1'a ， (6)
式中：z為鋼球數(shù)。
由(3)～(6)式可得
≤ n 。
- e
(7)
又有
? 壽( ) ， ㈩
= ，cos 。一
(8)式可變?yōu)?
F =： ZD2 sin ( )( 一1) ，
(9)
式中：O／。為與徑向游隙有關(guān)的原始接觸角；c為接
觸變形系數(shù)；G 為徑向游隙。
由(7)和(9)式整理可得
Sin(0-or)≥南[( )·
(cos~o一1)]
， (10)
由(10)式可以計(jì)算安全接觸角 。
2 MATLAB算例分析
以深溝球軸承6206為例計(jì)算極限軸向載荷。
設(shè)計(jì)參數(shù)如下：E：55．54 mm，F(xiàn)=36．46 mm，D2=
51．84 Into ，d2=40．1 mm，D ：9．525 mm， ：
0．52，fi=0．515，Z=9，G =0．014 mm。
2．1 程序編寫
2．1．1 定義參數(shù)
將設(shè)計(jì)參數(shù)通過賦值的方式進(jìn)行定義，例如
給E賦值的語句為
E =55．54；
其后的分號表示不在命令窗口中顯示賦值結(jié)果，
其余參數(shù)的賦值方法與此類似。這種方法還可以
將已經(jīng)賦值的變量通過多項(xiàng)式計(jì)算賦值給新的變
量。例如求解極限軸向載荷的公式可以通過如下
賦值語句實(shí)現(xiàn)
Fa=Z Dw'~2：l：sin(alpha)$(((2：Ic fin一1)／
C)％(COS(~pha_0)／cos(alpha)一1)) 1．5
其中包含的特定標(biāo)記都是已經(jīng)賦予值的變量。
2．1_2 函數(shù)計(jì)算
利用MATLAB的底層程序，可以采用命令語
句快速進(jìn)行方程的數(shù)值計(jì)算。例如計(jì)算0 的命令
語句為
theta— e=acos(1一(E—D2)／(2：l；fe Dw))
語句末尾沒有標(biāo)點(diǎn)符號，其計(jì)算結(jié)果將顯示在命
令窗口中。其余函數(shù)計(jì)算方法與此類似，需要注
意的是方程中用到的標(biāo)記必須是已定義的。
2．1_3 擬合曲線
對于需查表的參數(shù)，可以利用擬合語句進(jìn)行
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葉華聰，等：深溝球軸承安全接觸角的MATLAB數(shù)值分析
曲線擬合以及定點(diǎn)計(jì)算。首先需要截取表中的參
數(shù)，并賦值給某一個(gè)參數(shù)；然后利用MATLAB的擬
合命令進(jìn)行求解。例如求e 的擬合命令語句為
A=[0．90O，0．073 05；0．910，0．076 41；
0．920，0．080 23；0．930，0．084 80；0．940，
0．090 35；0．950，0．097 33；0．960，0．106 6；0．970，
0．119 7；O．980，0．140 4；0．990，0．183 1]；
xl=A(：，1)；yl=A(：，2)；
nl：10；
pl：polyiit—
ye(xl，yl，n1)；
ea
_ c=polyval(pl，F(xiàn)—rho_e)
程序中語句1是截取表中的參數(shù)，并賦值給某一
個(gè)參數(shù)A；語句2是將矩陣A的第1列和第2列分
別賦值給 1和yl；語句4中 1，yl為已知數(shù)據(jù)，
1為擬合多項(xiàng)式的階次，pl為返回所得多項(xiàng)式的
系數(shù)向量，通常多項(xiàng)式擬合中階數(shù)越大，擬合的精
度就越高；語句5為當(dāng) 1取F(p。)時(shí)，由系數(shù)向量
pl=polyfit_ye(xl，yl，n1)代表的擬合多項(xiàng)式計(jì)算
得到的函數(shù)值，也就是表中F(P )所對應(yīng)的e 。
其他查表值的計(jì)算與此類似。
2．1．4 子程序調(diào)用
根據(jù)(10)式得
=sin 一 一南‘
『( )(COS Ot0__1)
安全接觸角 可以通過此方程求解得到，而且適
合的解必然處于(0，1)區(qū)間。例如求內(nèi)圈安全接
觸角 ；的主程序語句為
alpha_i=fzero(sub_i，1)；
其中fzero為求方程零點(diǎn)的命令；sub—i為調(diào)用的子
程序，1為求解初始值，所求解應(yīng)為1附近的方程
之根。
子程序應(yīng)單獨(dú)進(jìn)行設(shè)計(jì)、保存，以備調(diào)用，如
function fx=sub_i(x)
fx=sin(theta—i—x)一2 ca—i：l=(((2 fm一
1)／c)=lc(CO8(alpha_0)．／cos(x)一1))． (1／2)／
(Dw sigma_rho_i) (1／3)；
使用時(shí)，須在語句1，2之間添加語句2中所用到的
變量賦值語句。其他子程序調(diào)用語句與此類似。
2-2 程序運(yùn)行結(jié)果
內(nèi)、外圈安全接觸角oti，ot 的求解曲線分別如
圖2和圖3所示。從MATLAB的命令窗口中會自
動顯示出相關(guān)數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果，內(nèi)、外圈與鋼球形
成的安全接觸角分別為26．763 9。，28．490 2。。設(shè)
計(jì)應(yīng)用時(shí)應(yīng)以內(nèi)、外圈安全接觸角中的最小者作
為深溝球軸承極限軸向載荷的計(jì)算參數(shù)。
^_
圖2 內(nèi)圈安全接觸角 ．求解曲線
a
。
／rad
圖3 外圈安全接觸角 求解曲線
3 結(jié)束語
通過MATLAB編寫程序，可以實(shí)現(xiàn)深溝球軸
承安全接觸角的快速求解，而且求解精度較高。
當(dāng)軸承型號變更之后，只需在程序中修改相關(guān)的
尺寸參數(shù)就可以快速求解出對應(yīng)軸承的安全接觸
角。另外，可以利用程序?qū)λO(shè)計(jì)的尺寸參數(shù)進(jìn)
行計(jì)算，并對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比與分析，從而對深
溝球軸承的安全接觸角進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。
參考文獻(xiàn)：
[1] 劉澤九，賀士荃．滾動軸承的額定負(fù)荷與壽命[M]．
北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1983．
[2] 岡本純?nèi)蜉S承的設(shè)計(jì)計(jì)算[M]．黃志強(qiáng)，譯．北
京：機(jī)械工業(yè)出版社，2003．
(編輯：溫朝杰)

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