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終端靜電設備的靜電力和力矩計算

文檔作者：王明智文檔來源：合肥工業(yè)大學		點擊數(shù)：	更新時間： 2021年09月26日
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斥仲八油品內(nèi)的接地金收鏈中的臼由_乜予f 之“八地”。艇后．圈感應帶正電的金屬鏈就會吸引
油品中的電f．使之進入金屬鏈．這些【乜 義受到油t f 其余fUf 排斥．而叉”入地”·? ? ·
依此婁推． 到把油品中的凈電荷(電子) 除”．從而達到消【乜效鞋。當然．上j墨過程應當是連
續(xù)的．其實質(zhì)足．來自于金心茜j酋的電子通過金軾鏈叉流人r夫地
按上跡思慰．”浮王蕾金懈璉”的 電機恥不蒙或 ：” r t } 的尖端放f乜： ‘般情況F的氣
體中的尖端放電．盒心尖端 主動帶}乜”．在其強l也場 ．氣體分 被【U離或擊穿．不僅有與尖端
帶電的肆性電荷的啦八．而且前舊 lU荷的徘』 ；而在代們賓啦條件下的“浮球金屬鏈”的 放
電 ．是液體(油品)”主動帶電”．金懈鏈【尖端)做感應帶【U．液體(油品)分子可以不被電離或擊
穿．僅僅有與金屬鏈(尖端)帶電的異性電荷(電子)的吸八，井泄入大地。于是．在我們實驗條件
下的。浮球金屬鏈”的消電機理．不需要填擬一般氣體的放電機制。
3．理論設想與實驗觀測相符 如上所述．關(guān)于 浮球金屬鏈”消電機理的理論設想與實
驗觀測．二者相互符合：我們觀測到的“放電電流”．實質(zhì)上是上述金屬鏈消電過程中電子泄入
大地所形成的； 放電 的聲光等現(xiàn)象觀察不到的原因也正是因為其機制與一般的氣體放電不
同所造成的。 i7f 屯乃 ’ 復匡
J ，
終端靜電設備的靜電力和力矩計算
王明智
合肥工業(yè)大學
O
摘要 對于含有終端的靜電設備．利用能量法和”相關(guān)能量一法求靜電力和力矩。
文中給出實例說明導出公式的應用，供工程人員參考。
靜電揚聲器、靜電顯示器、靜電馬達等都可視為帶有終端的靜電設備彖統(tǒng) 外加電壓時．電
源向系統(tǒng)輔入能量、場能增加．同時電場力．力矩擻功．這過程可用圖1所示方框圖表示。
根據(jù)能量守恒和轉(zhuǎn)換定律．此系統(tǒng)終端電功率方程為
i-d
d
w
t
．f d
d
x
t
或dw=udq—Idx (1)
即電源向系統(tǒng)輸入功率等于電場能量增加率和電場對外做
功功率之和。方程(1】指出．系統(tǒng)能量w 是獨立變量q和x
的函數(shù)．即
w = W(q·x) (2)
根據(jù)敦學微分定義
等Ildq+等l口dx
比較方程(1)、(3)式中各項．有u
如果保持系統(tǒng)電量q不變(dq一0)．則
+蘭^一 I一 w ?．一1一一．rT-
圖l
--
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等I
方程f4)是計算靜電力的一般公式。
對于含有轉(zhuǎn)動部分的靜電設備系統(tǒng)．作類似分析，有
aw—udq- a。及aw一薔I。a葉d。
于是靜電力矩為
1 ‘
利用靜電能量計算靜電力和力矩的方法．叫做能量法。
— 般表達式。一般情況下對(1)積分便得到系統(tǒng)能量
w 一』( dq—fd )
(4)
(5)
使用能量的關(guān)鍵是要先求出能量w 的
靜電能量w 是系統(tǒng)狀態(tài)(q，x)函數(shù)．原則上說．在q-x二維
圖上．由原點沿任意路經(jīng)積分到達狀態(tài)P(q．x)都可得到相
同能量表達式(圖2) 實際上被積函數(shù)中占有未知力．其能
取圖示特殊路徑積分求w 。
沿路徑I(q一0，x)，靜電力為零．不做功，故△Wt一0
沿路徑I(x一常量，q)．積分
△W：一J udq
系統(tǒng)總能量
rI
W △w，+△w： J “dq (7)
方程(1)中，電攝電壓u是電量q的函數(shù)．對w 微分得力
(或力矩。)
例1．靜電揚聲器
靜電揚聲器質(zhì)高而貴重，可替代用于大多數(shù)立體系統(tǒng)
中的電磁揚聲器，其最簡單形式是鄰近電極處含有一個可
移動導電膜．如圖3所示，薄膜與電極問電壓量聲頻放大器
控制且隨聲頻信號的改變而改變。這種電壓變化導致吸吸
薄膜的力的改變，而使薄膜振動以及與箕接觸的空氣振動．
通常施加電壓具有如下形式：
v— v。+ v1COSWt
設計這樣一種揚聲器．我們需要知道多高的電壓才能產(chǎn)生
一足夠大的力來產(chǎn)生一可昕聲渡。
圖示電極可簡化為一個平報電容：
q一半解得V=
r r
能量積分 w—J vdq—J(景)dq一 }
o
圖2
(6)
圖3 1 振動膜2 剛性同絡
29
一
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徵¨ i一等一蓋
這，J般 U衍的函數(shù)．但放大器往往對揚聲器施加一電壓，故需用電壓來描述力
f -
-
=
,x
、V
、 是 ， 牲．適用于任何x，v組合，由前給出的放大器輸出，力可以用下面形式表達
一 +言V 2 V。V1coswt+枷。s0 L ^ ‘ ‘
山此ii]- ． 矗賴j 薄膜與電極間距離X，它在揚聲器使用時持續(xù)變化。若v。=v．=Sky，A一
0．3n ．x ： m 我們得到力的大小約為2．7N，或壓強P=8．9pa，同時考慮到空氣阻抗(z．=
： k 一 )， 輸出功率約為
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方程(8)中不含參考電壓的功率項．這表明只要方便，參考電壓可 任意取值，一種通常造擇參
考電壓方法．使其中一個終端電壓為零，如U 3=0，則功率流方程簡化為
dw—U Ldql+ u2dq 2一fdx (9)
方程(9)中出現(xiàn)獨立變量q。，q z,X．給計算統(tǒng)計能量帶來不方便．1986年．W~ on和Meleeher
提出一個替代方法，利用分部微分法互換終端變量．即 ’
Uldql+u2dq 2一d(u【q1+u：q2)一(qldu L+q2du 2) ．
將其代入(9)合并各項得： -
d[(u-ql+u2q2)一w]一qld ul+q2du2+fdx
這種變量互換方法叫做勒讓德(Legendre)轉(zhuǎn)換
令 W 一(ulq【+u 2q2)一w (10)
則得到一個與能量守恒方程極為相似的主方程． ，
郎dw =qldu【+q2du 2+fdx (II)
其中w 叫做相關(guān)能量或同能量，相關(guān)能量也是一個保守狀態(tài)函數(shù)W =w =(u。，U：，x ．萁截
分為 ，
一 。+ ：+ l ． c·z
把此方程中各項與相關(guān)能量方程(11)比較，便可得出靜電力計算式：
f‘一 1h ． (?13 )
類似分析可以得靜電力矩的一般計算式：
L一 1 ? 。
2
這種利用相關(guān)能量w 計算力(力矩)的方法叫做相
關(guān)能量法。值得注意的是使用相關(guān)能量法必須先求
出w 的表達式．一般情況下，相關(guān)能量由式(II)積
分得到．即
f
w 一J(q【du-+q?du：+fdx) (15)
對于三個獨立變量(u··u：·x)·積分可按三維路徑進 圖6
行(圖6)，令原點(0．0，0)為參考點．沿圖示路徑積
分，即可得相關(guān)能量w ．即
沿路徑I(ul一0，u：一0，x)，不施加電壓，靜電力為零，不做功．無能量輔入系統(tǒng)，
故 △w 一0
沿路徑l(x一常量．u 0，u )
外加電壓，系統(tǒng)帶電．輸入能量；
r
u _
，
△w，2=J ‘du
u t—— U
沿路徑Ⅲ(x一常量．ul一常量．U2)．外加電壓，系統(tǒng)帶電，輸入能量l
u ?
△ w
u
q ；du
。
,
31
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疊加各項即得相關(guān)能量W ：△w ．+△w +△w ．對w 微分就可求出靜電力(或力矩 )-
倒3 靜電馬達 ’
靜電馬達有多種形式．較為簡單模型是單扳靜電馬達，它是由定子與轉(zhuǎn)子組成，轉(zhuǎn)子上有
一個轉(zhuǎn)換器，通過它，轉(zhuǎn)子薄片充以與那些進入定子的薄片相反的電荷，而與那些即將離開的
定子薄片以相同電荷。工程上為簡單起見電極上電荷取如下計算形式：
q—c(0)u=÷(Cmax+Cmin)u+÷(Cmax-Cmin)cos20·u
其中Cmax是轉(zhuǎn)子與定子間最大電容．Cmln是最小電容，對此靜電系統(tǒng)，相關(guān)能量
r 1 1
W ：jqdu一÷(Cmax+Cmin)u。+÷(Cmax-Cauin)co*20u。于是轉(zhuǎn)子扭力矩為
L一 l： (cmax—C n20u：
刪I u
這種電容型靜電馬達中，一個重要參數(shù)是Cmax-Cmin、馬達運轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的這個參數(shù)愈大、扭
力矩與功率也愈大。在設計這種馬達中最主要目標是獲得最大可耱電容的變化．
例4 三終端旋轉(zhuǎn)機械如圖7所示。穩(wěn)定電扳分別叫做
a、b定子．一個是旋轉(zhuǎn)電極(轉(zhuǎn)子)位置0．已知電極電壓．則各
電極上電量與電壓關(guān)系為
qI一 IlLI1+ cI：LI 2+c1 0，
q!一02，LII+ 囂LI!+ ∞LI3
q3一 "uI+ 0茸 ：+ 0∞
式中Cii是電極電容．cij是電極互感電容。工程上．為簡單起
見，一般采用如下估算表達式；
qI一(Ca0-C3,Cos0) I一(Cmo— Cmlcos0)u 3
q2一(C +C∞Co 0)u2一(Cm。一CmICOs0) 圖7
q3一C 3一(Cm口- C ，cos0) I一(C 曠C ，cosO)u2
這種形式只涉及描述三個電極的“自窖”相“互容”的傅里葉極數(shù)的首項。這種簡化形式常應用
于研究旋轉(zhuǎn)機械中。我們希望得到一個適應于一般轉(zhuǎn)動扭力矩表達式．故暫不選定參考電壓。
對于三個終端。相關(guān)能量積分便涉及三個部分．它們具有形式；
△ w ．一
u
q
，
,d
=
u
。
, 1(c
一c ．c。s。)u} ．
LI = 0
Aw ：一j
'=
q2d
0
u
一?！甤 +c 。s。)u；
LI1一常
a一 一號c cmc ． -(( +Cm ㈣
u：=常
迭加這些項便可得相關(guān)能量。對W 微分得扭力矩為：
I 一寺c in0(u】 ～u21)一C 】sinOu 3(ul-11：)
對于一個實際靜電設備采統(tǒng)·要先抽象化為一個簡單模型，利用上述分析方法加以研究

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